Các bài toán liên quan đến tính chất liên tục
của hàm số, đạo hàm của hàm số

i. các kiến thức cơ bản
ĐN: Hàm số f xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu
- Hàm số f xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
- Hàm số f xác định trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b), và
* Định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục.
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(a) ≠ f(b) và M là 1 số nằm giữa f(a) và f(b) thì ít nhất 1 số csao cho f(c) = M.
* Định nghĩa Đạo hàm tại một điểm

* ý hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x1 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M0(x0 ; f(x)).
*Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại tiếp điểm
M0(x0 ; f(x0)) là : y = f’(x)(x - x0) + f(x0)
* Định nghĩa đạo hàm cấp n
F(x)(x) = [F(n - 1) )(x)]’ (nN , n2)
*Định nghĩa vi phân df(x) = f’(x)dx
* dụng cơ bản của vi phân vào tích phân gần đúng.
F(x0 + x) f(x0) + f’(x0) x
ii. các bài toán điển hình
Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm, trên 1 khoảng, 1 đoạn.
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại 1 điểm cho trước.
a) f(x) = tại điểm x = -2
b) f(x) = tại điểm x = -2
Lời giải:
Ta có
hàm số đã cho bên trục tại x = -2
Ta có


Hàm số đã cho liên tục tại x = -2
Bài 2: Tìm số thực a sao cho hàm số
f(x) = liên tục trên R
Lời giải:
* Với x <1 f(x) = x2 f(x) liên tục tại mọi x <1
* Với x >1 f(x) = zax -3 f(x) liên tục tại mọi x >1
để hàm số đã cho liên tục trên R hàm số đó liên tục tại x =1

Ta có:

f (1) = 2a - 3
Để hàm số liên tục tại x = 1
2a - 3 = 1 a = 2
Kết luận: Với a = 2 hàm số đã cho liên tục trên R
2) Chứng minh phương trình có nghiệm trên 1 khoảng
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c phương trình
f(x) = x3 + 2x2 + bx +c = 0 có ít nhất 1 nghiệm.
Lời giải:
Ta có:
đủ lớn để f(x2) > 0

để f(x1) < 0
Hàm số y = f(x) liên tục trên [x1; x2] và f(x1) f(x2) < 0
Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên (x1; x2)
Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm
Bài 2: Chứng minh rằng ph